Jenis
Fungsi Distribusi Probabilitas
1.
Fungsi
Distribusi Diskrit
Fungsi f(x) adalah
suatu fungsi peluang atau distribusi peluang suatu peubah acak diskrit X bila,
untuk setiap hasil x yang mungkin, berlaku :
Jika percobaan bernoulli sebanyak N
kali secara independen, menghasilkan peristiwa A dan sisanya
maka peluang terjadinya peristiwa
sebanyak
kali di antara
, dihitung oleh:
Dimana:
P(R)=peluang terjadinya sebesar R untuk N kejadian .
N = jumlah kejadian.
R = jumlah kejadian yang
diharapkan
P =
peluang terjadinya kejadian (parameter distribusi)
Q = peluang kegagalan (tidak
terjadi) =
Contoh:
Debit puncak banjir sungai Citarum-Nanjung priode
tahun adalah 359m3/det. Tentukan dalam waktu 10 tahun peluang debit banjir tersebut:
a.
Tidak terjadi ?
b.
Terjadi satu kali ?
c.
Terjadi dua kali ?
d.
Terjadi tiga kali ?
e. Rata-rata dan deviasi standarnya ?
b)
Distribusi Peluang Poisson
Distribusi Poisson
dapat pula dianggap sebagai pendekatan kepada distribusi binomial. N cukup
besar dan P(A), sangat dekat kepada nol sehingga
tetap,
distribusi
binomial menjadi distribusi Poisson, dilakukan pendekatan
sedangkan
Dirumuskan menjadi
dimana:
P(R)= peluang terjadinya
sebesar R dalam jumlah kejadian
R
= jumlah kejadian yang diharapkan
N
= jumlah kejadian.
e = 2,71828
Dengan
parameter statistiknya sebagai berikut::
a.
rata-rata hitung (mean)
b.
Variansi
c.
Deviasi standar
d.
Kemencengan
e. Koefisien Kurtosis
Contoh:
Dalam suatu DPS dibangun dam
pengendali banjir dengan umur bangunan 100 tahun. Berapa peluang terjadinya
banjir 550 m3/det dengan priode ulang 200 tahun selama priode umur
dam tersebut, apabila ditentukan dengan Distribusi Poisson ?
Jawab:
Priode ulang banjir 200 tahun, maka peluang
terjadinya 1 kali banjir adalah:
Artinya, pada DPS itu dengan umur dam
pengendali banjir 100 tahun, selama priode umur tersebut akan terjadi banjir
priode 200 tahun dengan peluang
c) DISTRIBUSI PELUANG HIPERGEOMETRIK
Distribusi hipergeometrik adalah
distribusi probabilitas diskrit dari sekelompok obyek yang dipilih tanpa
pengembalian. Misalnya anda diberikan sebuah kotak yang berisi 10 buah kembang
gula, kesemuanya narnpak sama bila dilihat dari luar. Anggaplah kemudian anda
tahu bahwa 8 mempunyai rasa marshmallow (rasa ini yang anda suka) dan 2 buah
rasa almond (rasa ini tidak anda suka). Jika anda mengarnbil 5 buah, berapa
probabilitas bahwa anda akan mendapat 3 rasa marshmallow? Ini adalah kasus
probabilitas dimana jumlah keberhasilan dibagi dengan jumlah kemungkinan hasil.
Pertama-tarna kita harus mengetahui jumlah cara pengarnbilan 5 buah kembang
gula dari kotak yang berisi 10 buah kembang gula. Kita dapat menggunakan
formula ini:
Sekarang kita menghitung berapa
probabilitas mendapatkan 3 kembang gula dengan rasa marshmallow. Karena ada 8
buah kembang gula yang harus dipilih, maka ada (38) cara pengarnbilan 3 kembang
gula marshmallow. Kemudian kita mengalikannya dengan jumlah kemungkinan
pengarnbilan 2 kembang gula rasa almond dari 2 kembang gula rasa almond di
dalarn kotak, yaitu (22) (sarna dengan I) Dengan demikian, probabilitas
mengarnbil 3 buah kembang gula rasa marshmallow adalah:
Perbedaan Peluang Binomial dengan
peluang Hipergeometrik:
Peluang
Binomial ®
perhatian hanya untuk peluang BERHASIL
Peluang
Hipergeometrik ®
untuk kasus di mana peluang BERHASIL berkaitan
dengan Peluang GAGAL
® ada penyekatan dan pemilihan/kombinasi
obyek
(BERHASIL dan GAGAL)
Percobaan hipergeometrik adalah percobaan dengan ciri-ciri sebagai
berikut:
1. Contoh acak berukuran n diambil dari
populasi berukuran N
2.
k dari N diklasifikasikan sebagai "BERHASIL" sedangkan N-k
diklasifikasikan sebagai "GAGAL"
Definisi
Distribusi Hipergeometrik:
Bila
dalam populasi N obyek, k benda termasuk kelas "BERHASIL" dan N-k
(sisanya) termasuk kelas "GAGAL", maka Distribusi Hipergeometrik
peubah Acak X yg menyatakan banyaknya keberhasilan dalam contoh acak berukuran
n adalah :
Contoh
8 :
Jika
dari seperangkat kartu bridge diambil 5 kartu secara acak tanpa pemulihan,
berapa peluang diperoleh 3 kartu hati?
N
= 52 n = 5 k = 13 x = 3
Rata-Rata
dan Ragam bagi Distribusi Hipergeometrik h(x; N, n, k) adalah :
Rata-rata =
Ragam =
Perluasan Distribusi Hipergeometrik
jika terdapat lebih dari 2 kelas
Distribusi
Hipergeometrik dapat diperluas menjadi penyekatan ke dalam beberapa kelas
dan
perhatikan bahwa
dan
N
: ukuran populasi atau ruang contoh
n : ukuran contoh acak
k : banyaknya penyekatan atau kelas
xi : banyaknya
keberhasilan kelas ke-i dalam contoh
ai : banyaknya
keberhasilan kelas ke-i dalam populasi
Contoh
9 :
Dari
10 pengemudi motor, 3 orang mengemudikan motor merk "S", 4 orang
memggunakan motor merk "Y" dan sisanya mengemudikan motor merk
"H". Jika secara acak diambil
5 orang, berapa peluang 1 orang mengemudikan motor merk "S", 2 orang
merk "Y" dan 2 orang merk "H"?
Jawab
:
N
= 10, n = 5
a1 = 3, a2 =
4, a3= 3
x1 = 1, x2 =
2, x3= 2
Pendekatan
Hipergeometrik dapat juga dilakukan untuk menyelesaikan persoalan binomial
:
·
Binomial ® untuk
pengambilan contoh dengan pemulihan (dengan pengembalian)
·
Hipergeometrik ®
untuk pengambilan contoh tanpa pemulihan (tanpa pengembalian)
Contoh
10 :
Dalam
suatu kotak terdapat 5 bola yang terdiri dari 2 bola Merah, 2 bola Biru dan 1
buah Putih. Berapa peluang
a.
terambil 2 bola Merah, dari
4 kali pengambilan yang dilakukan
secara acak dengan pemulihan?
b.
terambil 2 bola Merah, dari
4 kali pengambilan yang dilakukan
secara acak tanpa pemulihan?
Soal
a diselesaikan dengan Distribusi Peluang binomial :
p = 2/5 = 0.40 n = 4 x = 2
b(2; 4,0.40) = 0.16 (lihat Tabel
atau gunakan rumus Binomial)
Soal
b diselesaikan dengan Distribusi Peluang Hipergeometrik
N = 5 n = 4 k
= 2 x = 2
N-k = 3 n-x=2
h(2; 5, 4,2) =
d)
Distribusi Binomial
Distribusi
probabilitas dari vaiabel acak binomial X:
P
=
px qn-x
Soal :
100
biji telur berpeluang cacat 5%... .jika diambil 3 biji telur. berapakah peluang
satu telur yang cacat?
Jawab :
Gunakan rumus di atas , untuk
n = 3 dan x = 1
p adalah peluang terambil telur cacat = 5% =
q
adalah peluang terambil telur baik = 1-
5% =
P =
=
= 0,135375
e) Distribusi Multinomial
Distribusi multinomial
ialah perluasan dari distribusi binomial. Misalkan sebuah eksperimen
menghasilkan peristiwa-peristiwa
dengan peluang
Terhadap eksperimen ini kita lakukan percobaan
sebanyak N kali. Maka peluang akan terdapat
peristiwa
peristiwa
peristiwa Ek diantara N, ditentukan
oleh distribusi multinomial berikut :
Eskpektasi terjadinya tiap peristiwa
berturut-turut adalah
Variansnya
Contoh
:
1) Dalam
undian dengan sebuah dadu sebanyak 12 kali, maka peluang terdapat mata 1, mata
2, … mata 6 masing-masing tepat dua kali adalah
2) Sebuah
kotak berisi 3 barang yang dihasilkan oleh mesin A, 4 oleh mesin B dan 5 oleh
mesin C. kecuali dikategorikan berdasarkan mesin, identitas lainnya mengenai
barang tersebut sama. Sebuah barang diambil secara acak dari kotak itu,
identitas mesinnya dilihat, lalu disimpan kembali kedalam kotak. Tentukan
peluang diantara 6 barang yang diambil dengan jalan demikian terdapat 1 dari
mesin A, 2 dari mesin B dan 3 dari mesin C.
Jawab :
Jelas
bahwa P (dari mesin A)
P
(dari mesin B) =
dan P (dari mesin C)
Dengan rumus di atas didapat :
P
(1 dari mesin A dan 2 dari mesin B dan 3 dari mesin C)
2.
Fungsi
Distribusi Kontinu
Fungsi
f((x) adalah fungsi padat peubah acak kontinu X, yang didefnisikan di atas
himpunan semua bilangan real R, bila:
Peluang masa pakai alat antara 3 dan 3½ bulan ialah
0,0493.
b.
dengan a = 3 dan b = ∞,maka:
c.
Untuk x ≥ 0, maka:
Rata-rata masa pakai alat
itu selama 2 bulan
Beberapa
Distribusi Khusus Kontinu
a)
Fungsi
Distribusi Normal
Jika
variabel acak kontinu X mempunyai fungsi densitas pada
dengan persamaan umumnya :
=
dengan
:
untuk -
maka dikatakann bahwa variabel acak
X berdistribusi normal.
Sifat-sifat penting distribusi normal:
1) grafiknya
selalu ada di atas sumbu datar
.
2) bentuknya
simetrik terhadap x = μ.
3) Mempunyai
satu modus, jadi kurva unimodal, tercapai pada
4) Grafiknya
mendekati (berasimtutkan) sumbu datar x dimulai dari
ke kiri.
5) Luas
daerah grafik selalu sama dengan satu unit persegi.
b) Distribusi
Gamma
Eksperimen-eksperimen probabilitas yang hasilnya menunjukkan suatu bentuk
distribusi yang mempunyai variasi ukuran kemencengan yang cukup signifikan,
distribusi Gamma merupakan salah satu alternatif model yang banyak digunakan.
Terlebih dahulu akan diperkenalkan sebuah fungsi gamma.
v
Fungsi
gamma r (a) adalah :
r
(a) =
, untuk a > 0
Sifat-sifat
penting fungsi gamma adalah :
1.
Untuk
sebuah bilangan bulat positif n,
(n) = (n – 1) !
2.
Didefinisikan
=
(1/2) =
v
Distribusi
gamma
Peubah
acak kontinu x berdistribusi gamma, dengan parameter a dan b, bila padatnya diberikan oleh :
f(x : a, b) =
= 0 untuk x lainnya
Bila a >
0 dan b
> 0
v
Distribusi
Gamma Standard
Jika parameter
skala sebuah distribusi gamma b = 1 diperoleh suatu distribusi gamma standar.
FG = (x
: a) = P (X £ x) =
P (X£ x) = FG (x ; a, b) = FG
Contoh :
Variable acak kontinu x yang menyatakan
ketahanan suatu bantalan peluru (dalam
ribaun jam) yang diberi pembebanan dinamis pada suatu putaran kerja tertentu
mengikuti suatu distribusi gamma dengan a
= 8 dan b
= 15, Tentukan, probabilitas sebuah bantalan peluru dapat digunakan selama 60
ribu-120 ribu jam dengan pembebanan dinamik pada putaran kerja tersebut!
Jawab :
P (60
x £
120) = P (x £
120) – P (x £
60)
=
FG (120; 8 , 15) - FG
(60 ; 8, 15 )
=
FG (120/15 ; 8) - FG (60/15; 8)
=
FG (8 ;8) - FG (4 ; 8)
= 0,5470 – 0,0511 = 0,4959
c) Distribusi
Eksponensial
Distribusi
Gamma khususnya dengan a = 1 disebut distribusi eksponensial. Peubah acak kontinu
x distribusi eksponensial dengan parameter b, bila fungsi padatnya diberikan oleh :
1.
fE
(x ;
) =
e-x/b x ³ 0
= 0 untuk x
lainnya
Dengan b > 0
2.
FE
(x ;
) = P (X £ x) =
= 1 – e-x/b
Contoh
:
Misalkan
x adalah waktu (response time) suatu terminal komputer on-line yang merupakan
tenggang waktu antara masuknya suatu permintaan dari pengguna sampai sistem
mulai memberikan tanggapan atas permintaan tersebut, memiliki suatu distribusi
eksponensial dengan waktu tanggap rata-rata 5 detik. Jika seseorang perintah
tersebut akan dijalankan selambat-lambatnya setelah 10 detik.
P
(X £ 10) = F
(10 ;
) = 1 – e-10/0,2
= 1 – e-2 = 1 – 0,135 = 0,865
d) Distribusi
Khi-kuadrat (X2)
Distribusi gamma khas yang kedua diperoleh bila a = V/2, b = 2 dan V bilangan bulat positif. Fungsi peluang padat
seperti itu disebut distribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan V.
Peubah acak kontinu X berdistribusi khi-kuadrat dengan
derajat kebebasan V, bila fungsi padatnya diberikan oleh :
Fx2 (x ; v) =
= 0 untuk x lainnya
Teorema :
Rataan
dan variansi distribusi gamma adalah :
m = ab dan s2 =
ab2
Akibat
1
Rataan
dan variansi distribusi eksponensial adalah
m = b dan s2 =
b2
Akibat
2
Rataan
dan variansi distribusi khi-kuadrat adalah
m = V dan s2 =
2V
DAFTAR PUSTAKA
Djarwanto, dkk. 1996. Statistik
Induktif. BPFE :Yogyakarta
Harinaldi. 2005. Prinsip-prinsip
Statistik untuk Teknik dan Sains. Erlangga : Jakarta.
Herrhyanto,Nar.
2009. Pengantar Statistika Matematis.CV.Yrama
Widya:Bandung
Tidak ada komentar:
Posting Komentar