Recent Post

Minggu, 09 Juni 2013

Jenis Fungsi Distribusi Diskrit dan Kontinu

Jenis Fungsi Distribusi Probabilitas
1.      Fungsi Distribusi Diskrit
Fungsi f(x) adalah suatu fungsi peluang atau distribusi peluang suatu peubah acak diskrit X bila, untuk setiap hasil x yang mungkin, berlaku :
) = Q = 1-P. Jika P = P(A)  tetap harganya, maka percobaan yang berulang-ulang dari eksperimen itu dinamakan percobaan Bernoulli.
Jika percobaan bernoulli sebanyak N kali secara independen, menghasilkan peristiwa A dan sisanya  maka peluang terjadinya peristiwa sebanyak  kali di antara , dihitung oleh:
                       
Dimana:
P(R)=peluang terjadinya sebesar R untuk N kejadian .
N    = jumlah kejadian.
R    = jumlah kejadian yang diharapkan
P    = peluang terjadinya kejadian (parameter distribusi)                                              
Q  = peluang kegagalan (tidak terjadi) =
, jumlah kombinasi N dan x pada 1 (satu) satuan waktu   dengan
Contoh:
Debit puncak banjir sungai Citarum-Nanjung priode  tahun adalah 359m3/det. Tentukan dalam waktu 10 tahun peluang debit banjir tersebut:
a.    Tidak terjadi ?
b.    Terjadi satu kali ?
c.    Terjadi dua kali ?
d.    Terjadi tiga kali ?
e.    Rata-rata dan deviasi standarnya ?
b)     Distribusi Peluang Poisson
Distribusi Poisson dapat pula dianggap sebagai pendekatan kepada distribusi binomial. N cukup besar dan P(A), sangat dekat kepada nol sehingga tetap,  distribusi binomial menjadi distribusi Poisson, dilakukan pendekatan  sedangkan
Dirumuskan menjadi  dimana:
P(R)= peluang terjadinya sebesar R dalam jumlah kejadian
R    = jumlah kejadian yang diharapkan
   =rata-rata hitung (mean) distribusi Poisson.
N   = jumlah kejadian.
      e    = 2,71828
Dengan parameter statistiknya sebagai berikut::
a.       rata-rata hitung (mean)                                          
b.      Variansi                                                                                    
c.       Deviasi standar                                                                        
d.      Kemencengan                                                             
e.       Koefisien Kurtosis
Contoh:
Dalam suatu DPS dibangun dam pengendali banjir dengan umur bangunan 100 tahun. Berapa peluang terjadinya banjir 550 m3/det dengan priode ulang 200 tahun selama priode umur dam tersebut, apabila ditentukan dengan Distribusi Poisson ?
Jawab:
Priode ulang banjir 200 tahun, maka peluang terjadinya 1 kali banjir adalah:
             , dan  sehingga:
         =

Artinya, pada DPS itu dengan umur dam pengendali banjir 100 tahun, selama priode umur tersebut akan terjadi banjir priode 200 tahun dengan peluang

c)      DISTRIBUSI  PELUANG HIPERGEOMETRIK

Distribusi hipergeometrik adalah distribusi probabilitas diskrit dari sekelompok obyek yang dipilih tanpa pengembalian. Misalnya anda diberikan sebuah kotak yang berisi 10 buah kembang gula, kesemuanya narnpak sama bila dilihat dari luar. Anggaplah kemudian anda tahu bahwa 8 mempunyai rasa marshmallow (rasa ini yang anda suka) dan 2 buah rasa almond (rasa ini tidak anda suka). Jika anda mengarnbil 5 buah, berapa probabilitas bahwa anda akan mendapat 3 rasa marshmallow? Ini adalah kasus probabilitas dimana jumlah keberhasilan dibagi dengan jumlah kemungkinan hasil. Pertama-tarna kita harus mengetahui jumlah cara pengarnbilan 5 buah kembang gula dari kotak yang berisi 10 buah kembang gula. Kita dapat menggunakan formula ini:
Sekarang kita menghitung berapa probabilitas mendapatkan 3 kembang gula dengan rasa marshmallow. Karena ada 8 buah kembang gula yang harus dipilih, maka ada (38) cara pengarnbilan 3 kembang gula marshmallow. Kemudian kita mengalikannya dengan jumlah kemungkinan pengarnbilan 2 kembang gula rasa almond dari 2 kembang gula rasa almond di dalarn kotak, yaitu (22) (sarna dengan I) Dengan demikian, probabilitas mengarnbil 3 buah kembang gula rasa marshmallow adalah:

Perbedaan Peluang Binomial dengan peluang Hipergeometrik:
Peluang Binomial                    ® perhatian hanya untuk peluang BERHASIL
Peluang Hipergeometrik         ® untuk kasus di mana peluang BERHASIL  berkaitan  dengan Peluang GAGAL
® ada penyekatan dan pemilihan/kombinasi obyek      
     (BERHASIL dan GAGAL)

Percobaan hipergeometrik  adalah percobaan dengan ciri-ciri sebagai berikut:
1. Contoh acak berukuran n diambil dari populasi berukuran N
2. k dari N diklasifikasikan sebagai "BERHASIL" sedangkan N-k diklasifikasikan         sebagai    "GAGAL"

Definisi Distribusi Hipergeometrik:

Bila dalam populasi N obyek, k benda termasuk kelas "BERHASIL" dan N-k (sisanya) termasuk kelas "GAGAL", maka Distribusi Hipergeometrik peubah Acak X yg menyatakan banyaknya keberhasilan dalam contoh acak berukuran n adalah :

                                             untuk x = 0,1,2,3...,k

Contoh 8 :
Jika dari seperangkat kartu bridge diambil 5 kartu secara acak tanpa pemulihan, berapa peluang diperoleh 3 kartu hati?
N = 52             n = 5                k = 13              x = 3    
           
           (selesaikan sendiri !)
Rata-Rata dan Ragam bagi Distribusi Hipergeometrik h(x; N, n, k) adalah :

 Rata-rata =                       Ragam =
Perluasan Distribusi Hipergeometrik jika terdapat lebih dari 2 kelas
Distribusi Hipergeometrik dapat diperluas menjadi penyekatan ke dalam beberapa kelas

      

dan perhatikan bahwa    dan   
N : ukuran populasi atau ruang contoh
n  : ukuran contoh acak
k  : banyaknya penyekatan atau kelas
xi : banyaknya keberhasilan kelas ke-i dalam contoh
ai : banyaknya keberhasilan kelas ke-i dalam populasi


Contoh 9 :
Dari 10 pengemudi motor, 3 orang mengemudikan motor merk "S", 4 orang memggunakan motor merk "Y" dan sisanya mengemudikan motor merk "H".   Jika secara acak diambil 5 orang, berapa peluang 1 orang mengemudikan motor merk "S", 2 orang merk "Y" dan 2 orang merk "H"?

Jawab :
N = 10,            n = 5
a1 = 3,         a= 4,           a3= 3
x1 = 1,         x= 2,           x3= 2


Pendekatan Hipergeometrik dapat juga dilakukan untuk menyelesaikan persoalan binomial : 
·         Binomial ® untuk pengambilan contoh dengan pemulihan (dengan pengembalian)
·         Hipergeometrik ® untuk pengambilan contoh tanpa pemulihan (tanpa pengembalian)

Contoh 10 :
Dalam suatu kotak terdapat 5 bola yang terdiri dari 2 bola Merah, 2 bola Biru dan 1 buah Putih.  Berapa peluang
a.         terambil 2 bola Merah, dari 4 kali  pengambilan yang dilakukan secara  acak dengan pemulihan?
b.         terambil 2 bola Merah, dari 4 kali  pengambilan yang dilakukan secara  acak tanpa  pemulihan?

Soal a diselesaikan dengan Distribusi Peluang binomial :
            p = 2/5 = 0.40              n = 4                x = 2
            b(2; 4,0.40) = 0.16 (lihat Tabel atau gunakan rumus Binomial)

Soal b diselesaikan dengan Distribusi Peluang Hipergeometrik
            N = 5               n = 4                k = 2                x = 2
            N-k = 3            n-x=2
           
            h(2; 5, 4,2)  =
d)     Distribusi Binomial
Distribusi probabilitas dari vaiabel acak binomial X:
P =  px qn-x
Soal :
100 biji telur berpeluang cacat 5%... .jika diambil 3 biji telur. berapakah peluang satu telur yang cacat?

Jawab :
Gunakan rumus di atas , untuk n = 3  dan x = 1
p adalah peluang terambil  telur cacat = 5% =
q adalah peluang terambil  telur baik = 1- 5% =

P =
   =   = 0,135375

e)      Distribusi Multinomial
Distribusi multinomial ialah perluasan dari distribusi binomial. Misalkan sebuah eksperimen menghasilkan peristiwa-peristiwa  dengan peluang  Terhadap eksperimen ini kita lakukan percobaan sebanyak N kali. Maka peluang akan terdapat  peristiwa  peristiwa  peristiwa Ek diantara N, ditentukan oleh distribusi multinomial berikut :
 
    
Eskpektasi terjadinya tiap peristiwa  berturut-turut adalah
Variansnya


Contoh :
1)      Dalam undian dengan sebuah dadu sebanyak 12 kali, maka peluang terdapat mata 1, mata 2, … mata 6 masing-masing tepat dua kali adalah
     

2)      Sebuah kotak berisi 3 barang yang dihasilkan oleh mesin A, 4 oleh mesin B dan 5 oleh mesin C. kecuali dikategorikan berdasarkan mesin, identitas lainnya mengenai barang tersebut sama. Sebuah barang diambil secara acak dari kotak itu, identitas mesinnya dilihat, lalu disimpan kembali kedalam kotak. Tentukan peluang diantara 6 barang yang diambil dengan jalan demikian terdapat 1 dari mesin A, 2 dari mesin B dan 3 dari mesin C.
Jawab :
Jelas bahwa P (dari mesin A)  P (dari mesin B) = dan P (dari mesin C)  Dengan rumus di atas didapat :
P (1 dari mesin A dan 2 dari mesin B dan 3 dari mesin C)




2.      Fungsi Distribusi Kontinu
Fungsi f((x) adalah fungsi padat peubah acak kontinu X, yang didefnisikan di atas himpunan semua bilangan real R, bila:
Peluang masa pakai alat antara 3 dan 3½ bulan ialah 0,0493.

b.        dengan a = 3 dan b = ∞,maka:

c.       Untuk x ≥ 0, maka:
Rata-rata masa pakai alat itu selama 2 bulan

Beberapa Distribusi Khusus Kontinu

a)      Fungsi Distribusi Normal
Jika variabel acak kontinu X mempunyai fungsi densitas pada  dengan persamaan umumnya :  =
dengan :
 fungsi densitas peluang normal
  = 3,1416, nilai konstan yang bila ditulis hingga 4 desimal .
                 = 2,7183, bilangan konstan, bila ditulis hingga 4 desimal
 = Variabel acak kontinyu
                = parameter, rata-rata untuk distribusi.
               = parameter, simpangan baku untuk distribusi.
untuk - maka dikatakann bahwa variabel acak X berdistribusi normal.

Sifat-sifat penting distribusi normal:
1)      grafiknya selalu ada di atas sumbu datar .
2)      bentuknya simetrik terhadap x = μ.
3)      Mempunyai satu modus, jadi kurva unimodal, tercapai pada
 sebesar
4)      Grafiknya mendekati (berasimtutkan) sumbu datar x dimulai dari  ke kiri.
5)      Luas daerah grafik selalu sama dengan satu unit persegi.

b)     Distribusi Gamma
Eksperimen-eksperimen probabilitas yang hasilnya menunjukkan suatu bentuk distribusi yang mempunyai variasi ukuran kemencengan yang cukup signifikan, distribusi Gamma merupakan salah satu alternatif model yang banyak digunakan. Terlebih dahulu akan diperkenalkan sebuah fungsi gamma.
v  Fungsi gamma r (a) adalah :
r (a) = , untuk a > 0
Sifat-sifat penting fungsi gamma adalah :
1.      Untuk sebuah bilangan bulat positif n,  (n) = (n – 1) !
2.      Didefinisikan =  (1/2) =
v  Distribusi gamma
Peubah acak kontinu x berdistribusi gamma, dengan parameter a dan b, bila padatnya diberikan oleh :
f(x : a, b) =
                  = 0 untuk x lainnya
Bila a > 0 dan b > 0
v  Distribusi Gamma Standard
Jika parameter skala sebuah distribusi gamma b = 1 diperoleh suatu distribusi gamma standar.
FG = (x : a) = P (X £ x) =
P (X£ x) = FG (x ; a, b) = FG
Contoh :
Variable acak kontinu x yang menyatakan ketahanan suatu bantalan peluru  (dalam ribaun jam) yang diberi pembebanan dinamis pada suatu putaran kerja tertentu mengikuti suatu distribusi gamma dengan a = 8 dan b = 15, Tentukan, probabilitas sebuah bantalan peluru dapat digunakan selama 60 ribu-120 ribu jam dengan pembebanan dinamik pada putaran kerja tersebut!
Jawab :
P (60  x £ 120) = P (x £ 120) – P (x £ 60)
                            = FG (120; 8 , 15)  - FG (60 ; 8, 15 )
                            = FG (120/15 ; 8) - FG (60/15; 8)
                            = FG (8 ;8) - FG (4 ; 8)
                            = 0,5470 – 0,0511 = 0,4959

c)      Distribusi Eksponensial
Distribusi Gamma khususnya dengan a = 1 disebut distribusi eksponensial. Peubah acak kontinu x distribusi eksponensial dengan parameter b, bila fungsi padatnya diberikan oleh :




1.      fE (x ; )   = e-x/b x ³ 0
                        = 0 untuk x lainnya
      Dengan b > 0
2.      FE (x ; ) = P (X £ x) = = 1 – e-x/b

Contoh :
Misalkan x adalah waktu (response time) suatu terminal komputer on-line yang merupakan tenggang waktu antara masuknya suatu permintaan dari pengguna sampai sistem mulai memberikan tanggapan atas permintaan tersebut, memiliki suatu distribusi eksponensial dengan waktu tanggap rata-rata 5 detik. Jika seseorang perintah tersebut akan dijalankan selambat-lambatnya setelah 10 detik.
P (X £ 10) = F (10 ; ) = 1 – e-10/0,2 = 1 – e-2 = 1 – 0,135 = 0,865


d)     Distribusi Khi-kuadrat (X2)
Distribusi gamma khas yang kedua diperoleh bila a = V/2, b = 2 dan V bilangan bulat positif. Fungsi peluang padat seperti itu disebut distribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan V.
Peubah acak kontinu X berdistribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan V, bila fungsi padatnya diberikan oleh :



Fx2 (x ; v) =
                  = 0 untuk x lainnya





Teorema :
Rataan dan variansi distribusi gamma adalah :
m = ab dan s2 = ab2
Akibat 1
Rataan dan variansi distribusi eksponensial adalah
m = b dan s2 = b2
Akibat 2
Rataan dan variansi distribusi khi-kuadrat adalah
m = V dan s2 = 2V

DAFTAR PUSTAKA

Djarwanto, dkk. 1996. Statistik Induktif. BPFE :Yogyakarta
Harinaldi. 2005. Prinsip-prinsip Statistik untuk Teknik dan Sains. Erlangga : Jakarta.

Herrhyanto,Nar. 2009. Pengantar Statistika Matematis.CV.Yrama Widya:Bandung

Tidak ada komentar:

Posting Komentar